1892年，Bumq求解了如圖62所示的半無限體內的徑向應力分布，他用的是數坐標而不是直角坐標。在表面沒有切應力的邊界條件下，徑向應力的解為2fcos6o
TTR
從式)可以看出，當r趨近于0時，，將變為無窮大。顯然這種情況是不可能存在的，因為此時表面材料將產生嚴重的屈服或失效。Hertz對此的解釋是，一定會形成一個小的接觸區域以取代點或線接觸，載荷將分到z:整個接觸面上，從而緩解了無窮大應力的狀況。Ht在分析中提出了如下的假設:1)所有的變形都在彈性范圍之內，沒有超過材料的比例極限。2)載荷垂直于表面，忽略表面切應力的影響3)與受載物體的曲率半徑相比，接觸區域的尺寸很小4)與接觸區域的尺す相比，接觸區域的曲率半徑很大。X彈性理論問題的解是以假設的應力函數為基礎的這些應力函數必須單獨或是組合地滿圖6.2 Boussinesq分析模型足相容方程和邊界條件。對于半無限彈性體的應力分布， Hertz采用的假設是
Y=
Y=
(6.17)
Zs
式中b是任意固定長度，X，y和Z是量綱為1的參數。設:
au av
r ax
o au
(618)
Z
we au,a
式中c是任意長度，以使e、v/c和w/e量綱為1。U和V是X和y的任意函數，但要滿足
U=0
6.19)
y=0
和c與U的關系為
(6.20)
be
這些假設部分來自直覺，部分來自經驗，將它們與彈性關系相結合(式(6.7)、式(610)和
az
式(612)至式(6.14)，得
a v ou
az
ava2Uっ
Z
az

z:
o
Z
a
z az
av au
aray arar
(6.21
av
Z
axa
ayaz
式中
(-2C)/b;U=(1-2)WU(X,Y,)
從以上的公式，可以確定以x平面為界面的半無限體內的應力和變形，在:＝0的界面上應
滿足r
=T,
0，而o，為有限值
Hetz最后假定變形后的表面形狀是一個旋轉橢圓面，此時函數V可表示為:
y Z
V s
+S1+
(6.2)
式中，S。是下面方程最大的正根
x2+S1+S2s8
(6.23)
而
(6.24)
這里a和b是接觸區域投影橢圓的長半軸和短半軸。
對于橢圓接觸區域，其幾何中心的應力為
30
O
mab
(6.25
任意長度c被定義為
30
C
6.26)
對于x＝的特殊情況
20
0
T
(6
C
?
G
(628)
由于假定接觸面相對于物體的尺す來說是很小的，則接觸體之間的距離可以表示為
式中，，和r，是主曲率半徑。
2r.2r